数学ワンポイント講座① ベクトル

こんにちは!松本です。

数学の要所を押さえた短い記事があったらいいなと思ったので書いてみます。

今回はベクトルです。

では本題に入りましょう。ベクトルの問題で大事なことはなんでしょうか。

結論:平面のベクトルの問題は, 大きさ内積が分かっている2つの一次独立なベクトル(空間だったら3つ)を用意すればおしまい!

はい、いきなり結論です(笑)もっと一般的にはこうでしょうか。(大きさとかがわからない場合もあるので)

結論:平面のベクトルの問題は, ある一点を特別なものと見て、そこを始点とする大きさ内積が分かりそうな2つの一次独立なベクトル(空間だったら3つ)を用意すればだいたいおしまい!

もちろん例外はあるのですが、基本的にこれで解けます。

(重心に関する証明の問題など、対称性や循環性があるときは、各点の位置ベクトルを用意してすべての点を対等に扱う方がスムーズ。それでも上の方針で解ける)

おしまいと言いましたが、むしろここからがスタートかもしれません。少し詳しく述べます。

大きさ、内積がわかっている一次独立な二つのベクトルを選んだら、表したい点をそのベクトルの線型結合で表しましょう。

ここで登場する強力な事実がこちらです。

任意の平面上のベクトルは一次独立な2つのベクトルの線型結合で一意に表すことができます!!!(空間なら3つのベクトル)

つまり、どのような点も最初に選んだ二つのベクトルの足し算で必ず表せるということです。しかも一通りにです!

この性質を使って、求めたいベクトルを二通りに表して、係数を比較することができます!

また、「ほんとに表せるかな〜」などといった余計なことを考えず、確信をもって線型結合で表す作業に打ち込むことができます!(必ず表せることが保証されているので)

さらに、表したベクトルの大きさの二乗は、基準としたベクトルの大きさと内積がわかっていれば、簡単に求めることができます!

このように、初めに基準とするベクトルを2つ選んでしまえばあとはその組み合わせとして表して、係数比較したり二乗したりゴリゴリ計算するだけです!図形のことは考えず、ひたすら計算に集中して大丈夫です!

ところで、平面の点の座標は、その点の位置ベクトルを(1,0) , (0,1)という二つの一次独立なベクトルの線型結合と見たときの係数になっていることに気づきますか?

大きさが1で、内積が0なのでかなり扱いやすくなっていますが、xy平面の座標は実はベクトルと見ることができます。(このようなベクトルたちを正規直交基底といいます)

(座標を位置ベクトルと見たとき、基底との内積を取ると基底の方向の座標が出てきます)

ベクトルの問題で一次独立なベクトルを選ぶという作業は、座標を設定することと本質的に変わりません。そう考えると、今回の結論は割と自然なことに感じられますね。

皆さんも以上の内容を意識して問題集のベクトルの問題を解き直してみてください。だいたいこの方針で解けるはずです。

具体例や用語の解説が無く、結局わかりにくくなってしまったのでまた別の記事で少し詳しく書こうと思います!(笑)最後に改めて結論を書いておきます。

結論:平面のベクトルの問題は, 大きさ内積が分かっている2つの一次独立なベクトル(空間だったら3つ)を用意すればおしまい!

以上です。ありがとうございました!

松本