【簡単】部分積分を筆算で素早く解く方法【ミスも減る】

こんにちは。メッドエーススタッフの横井です。この記事では部分積分を筆算を使って楽に速く解く方法をご紹介します。

普通の部分積分のやり方は理解している前提の記事になりますので、よろしくお願いします。それでは、どうぞ!

筆算をつくる手順

いきなりですがやり方を紹介します。理屈や2つほどある例外は後ほど述べます。手書きなので見にくいかもしれませんがご了承ください。

①まず、微分して簡単になる方を左におき、0になるまで微分した結果を下に書き連ねていきます。もう一方は積分で同じことをします。

②次に一番左に正と負の符号を交互につけます。

③そして、写真のようにペアをつくります。例えば、+とx^2と-cosxがひとつのペアです。また、0から右に矢印を引いておきます。

-(負の符号)と0とcosxの積を積分したものを右に書きます。積分した結果は0なので斜線で消しておきます。

各ペアが答えの各項となっているので、それを書いて終了です。

理屈の説明

では、このようにできる理屈をご説明します。

f(x)g(x)を繰り返し部分積分してみます。(登場するすべての関数は微分可能とします)

すると、一方は微分され続け、もう一方は積分され続けるという法則があることが分かります。これを筆算の形にしたものがご紹介しているものです。

この方法であれば、部分積分を簡単・素早く・ミスが少なく計算することができるはずです。

僕はテスト用紙の隅で筆算をして、結果だけ答えに書いていました。
検算の方法として答えを微分して一致するか確かめる方法が面倒な時に使うのもありかもしれませんね。

例外のパターン

ただし、例外のパターンが2つほどあります

対数関数を含む場合

1つは対数関数を含む場合です。

これは途中で筆算をいくつか行う必要があるので、普通にやるのと速さはあまり変わらなくなります。

整関数を含まず三角関数を含む場合

もう1つは整関数が含まれず、三角関数が含まれている場合です。

微分を続けても0にならないので途中でやめる必要があるので注意です。

いかがでしたでしょうか。証明問題を考えるときも、部分積分していった展開を速く確認できるので試してみる価値ありです。

はじめは難しいかもしれませんが、慣れれば楽勝になります。
他にも例外があるかもしれないので、問題を解いていくうなかでさらに良いやり方を見つけてみてください!

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